vendredi 30 juin 2017

Quand la physique s'invite à l'épreuve de Maths ...

Cette année, en Polynésie, les candidats au Bac S ont eu un exercice portant sur la molécule de méthane CH4.
Il fallait résoudre de la géométrie sur un tétraèdre.
Voici la question:

Les interactions électriques conduisent à modéliser la molécule de méthane CH4 de la façon suivante

 • Les noyaux d’atomes d’hydrogène occupent les positions des quatre sommets d’un tétraèdre régulier.
 • Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d’hydrogène.

L’objectif est de déterminer une mesure de l’angle entre deux liaisons carbone- hydrogène. Un tétraèdre régulier est un polyèdre dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux

Sans aide à la résolution, c'est de la géométrie assez basique.

Il faut trouver la distance AO en fonction de la longueur commune à toute les arêtes.
Puis, utiliser les propriétés d'un triangle isocèle.
Soit a la longueur des arêtes.
(DH) étant la médiane issue de D du triangle BCD,          OD = 2/3 DH
On trouve DH en utilisant le triangle équilatéral BCD:     DH² = a² - (a/2)² donc  DH = √3/2 a

                                                                                            OD = 2/3*√3/2a = ⅔*√3/2a = √3/3a
                                                                                                      ︿
Dans le triangle AOD rectangle en O:                                sin   OAD = OD/AD = √3/3
                                                                                               ︿
                                                                                            OAD = sin⁻¹ (√3/3) = 35,26 °
                                                                                               ︿
                                                                                            DGA = 180° ⁻ 2*35,26° = 109,47 °